Helical Tube - 2026-04-16

날짜: 2026-04-16
작성자: 최원재
프로젝트: Helical Tube

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목적

진행 내용

결과 → straight_vs_helix.py, straight_vs_helix.png.

비교 결과

형상 경로길이 PULL 조작력 Capstan factor 직선 수평관 20 m 20 m 4.8 N 1 (없음) SG U-tube (직선 10 + U-bend R=80 mm + 직선 10) 20.3 m 12.3 N e^(μπ) ≈ 2.2 본 헬리컬 (R=1.5, pitch=3, 5 turn) 49.5 m 6472 N e^(μL/ρ) ≈ 1779 왜 이렇게 차이가 나는가

직선관: ρ→∞ 이므로 capstan 항 (μ/ρ)·T = 0. 장력은 선형 증가 ($\mu wL$ 만). SG U-tube: 대부분 직선, 곡선 구간은 θ=π 로 짧게 끝남. Capstan 는 μθ 에만 의존 → 약 2배 증폭에 그침. 직선 마찰 + 소량 capstan. 헬리컬: μL/ρ 에서 L이 매우 길어지므로 지수 폭증. 5 turn 에 49.5 m 경로 전체가 곡선. 핵심 인사이트

Capstan 은 "곡선의 반경"이 아니라 "총 회전각 $\theta =L/\rho$" 에 민감합니다.

SG U-tube: θ = π 한 번 → e^(0.79) ≈ 2.2 본 헬릭스: θ = L/ρ ≈ 30 rad ≈ 9.5 π (거의 10번의 U-bend를 연속으로 감는 셈!) 그래서 원전 SG 세관 검사에서 pusher/puller 가 잘 동작하는 것이고, 본 헬리컬은 "말려있는 총 각도"가 너무 커서 불가능한 것입니다.

실용적 관점

헬릭스를 짧은 구간 여러 번으로 나누어 중간 구동점(feeder) 을 두면 각 구간의 θ 를 π ~ 2π 로 억제 가능 → 실현 가능. 또는 저마찰 코팅(μ=0.05) 으로 총 지수를 1.5 로 낮추면 조작력 수십 N 수준으로 SG 급 사용 가능.

straight_vs_helix.py 에서 케이블 장력 T(s) 가 어떻게 구해지는지 설명합니다.

핵심 함수: tension() (line 18–25)

def tension(s_arr, rho_of_s, theta_of_s, T0): T = np.zeros_like(s_arr); T[0] = T0 for i in range(1, len(s_arr)): ds = s_arr[i] - s_arr[i-1] th = theta_of_s(s_arr[i-1]) r = rho_of_s(s_arr[i-1]) dT = (mu/r)T[i-1] + muw_cablenp.cos(th) + w_cablenp.sin(th) T[i] = T[i-1] + dT*ds return T

$dT=(\mu /r)\ast T[i-1]+\mu \ast w_{cable}\ast \cos (th)+w_{cable}\ast \sin (th)$

이것은 ODE $\frac{dT}{ds}$ 를 Euler 전진법으로 수치 적분하는 것입니다. 각 항의 의미:

dT 의 세 가지 항 항 1: (mu/r) * T[i-1] — Capstan 항

$$\frac{\mu }{\rho },T$$

물리: 케이블에 장력 T 가 걸린 채 곡률 $1/\rho$ 로 꺾이면, 케이블이 벽을 누르는 수직력 $N=T/\rho$ (단위길이당)가 생김. 이 수직력 × μ = 마찰력 → 다음 구간의 장력을 더 키움. 자기 강화 구조: T 가 크면 → N 이 커지고 → 마찰이 커지고 → T 가 더 커짐 → 지수 증가의 원인. 직선관: $\rho \to \mathrm{\infty }$ → 이 항 = 0. Capstan 없음. 헬릭스: $\rho$ = 1.652 m, 경로 49.5 m → 총 회전각 30 rad → $e^{\mu \cdot 30}=e^{7.5}=1779$. 항 2: mu * w_cable * cos(th) — 중력의 수직 성분에 의한 마찰

$$\mu ,w\cos \theta$$

물리: 케이블 자중 $w$ [N/m] 가 경사각 $\theta$ 의 튜브 안에서 벽을 누르는 성분 = $w\cos \theta$. 이것 × μ = 중력에 의한 슬라이딩 마찰. 수평관 ($\theta =0$): $\cos 0=1$ → 자중 전체가 벽 가압. 수직관 ($\theta =\pi /2$): $\cos (\pi /2)=0$ → 벽을 안 누름 (자중이 축방향으로만 작용). 항 3: w_cable * sin(th) — 중력의 축방향 성분

$$w\sin \theta$$

물리: 경사 $\theta$ 를 올라갈 때 중력이 진행을 직접 방해. 수평관: $\sin 0=0$ → 없음. 수직 상승관: $\sin (\pi /2)=1$ → 자중 전체가 저항. 부호: 하강 구간에서는 $\theta <0$ → 이 항이 음수 → 중력이 도와줌. 세 가지 Case 별 작동 방식 Case 1: 직선 수평관 (rho=1e12, theta=0)

dT/ds = 0 + muw1 + w0 = muw = 0.25 × 0.918 = 0.230 N/m Capstan 항 = 0 (직선) 축방향 중력 = 0 (수평) T 가 선형으로 증가: $T(s)=T_0+0.23\cdot s$ 20 m 후: $T=0.19+0.23\times 20=4.8$ N → 손으로 충분 Case 2: SG U-tube (rho=1e12 → 0.08 → 1e12, theta 변화) 구간별로 보면:

구간 길이 ρ θ 지배 항 직선 상승 (0–10 m) 10 m ∞ +π/2 $w\sin (\pi /2)=0.918$ N/m (오르막) U-bend (10–10.25 m) 0.25 m 0.08 m π/2→-π/2 $(\mu /\rho )T=3.125T$ (Capstan 폭발적이지만 구간이 0.25 m 로 극히 짧음) 직선 하강 (10.25–20.3 m) 10 m ∞ -π/2 $w\sin (-\pi /2)=-0.918$ N/m (중력이 도움) U-bend 의 총 회전각 = π → Capstan factor = $e^{\mu \pi }=e^{0.785}=2.19$ 장력이 2.19배만 뻥튀기 → 12.3 N. 인력 여유. 핵심: ρ 가 작지만(0.08 m), 곡선 구간이 0.25 m 뿐이라 누적이 적음. Case 3: 헬리컬 (rho=1.652, theta=17.66° 일정)

dT/ds = (0.25/1.652)T + 0.250.918cos(17.66°) + 0.918sin(17.66°) = 0.1513T + 0.219 + 0.278 = 0.1513T + 0.497 모든 구간이 곡선 → Capstan 항이 49.5 m 내내 작동 총 회전각 = L/ρ = 49.5/1.652 = 30 rad (≈ 4775°) $e^{0.25\times 30}=1779$ 장력이 1779배 증폭 → 6472 N 비교 요약: 왜 차이가 나는가 직선 SG U-tube 헬릭스 Capstan 항 활성 구간 0 m 0.25 m 49.5 m 총 회전각 θ_total 0 π (3.14 rad) 30 rad Capstan factor 1 2.19 1779 T 증가 패턴 선형 선형+짧은 점프+선형 지수 조작력 4.8 N 12.3 N 6472 N 한 문장 결론: 케이블 장력의 지수적 폭증은 "곡률이 얼마나 작은가"가 아니라 "곡선 구간이 얼마나 긴가" (= 총 회전각)에 의해 결정됩니다. SG U-tube 는 곡률은 타이트하지만 곡선이 짧고, 헬릭스는 곡률은 완만하지만 끝없이 계속 휘어져 있어서 Capstan 이 누적됩니다.

u bend 영향

u tube 결과에서 10 m 일때 변화가 큰데 무슨 이유 때문이지? s=10 m 지점은 경로가 "수직 직선 상승"에서 "타이트한 U-bend(R=80 mm)"로 갑자기 바뀌는 전환점입니다. 이 지점에서 두 가지 효과가 동시에 일어납니다.

(1) 경로 형상의 급변 구간 s 범위 ρ θ 수직 상승 0 → 10 m ∞ +π/2 U-bend 10 → 10.25 m 0.08 m π/2 → −π/2 수직 하강 10.25 → 20.25 m ∞ −π/2 (2) 각 구간의 지배 항 ODE: $\frac{dT}{ds}=\frac{\mu }{\rho }T+\mu w\cos \theta +w\sin \theta$

직선 상승 (0 → 10 m)

$\mu /\rho =0$ → Capstan 항 꺼짐 $\cos (\pi /2)=0$ → 마찰 항 0 $w\sin (\pi /2)=0.918$ N/m → 자중이 전부 저항 결과: T 가 0.918 N/m 로 선형 증가 s=10 m 에서 T ≈ 0.94 + 9.18 ≈ 10.1 N U-bend (10 → 10.25 m, 길이 0.25 m)

$\mu /\rho =0.25/0.08=3.125$ /m ← 갑자기 지배 항이 됨 Capstan factor over arc: $e^{\mu \pi }=e^{0.785}\approx 2.19$ 0.25 m 안에서 T 가 2.19배 증폭 T 가 10.1 N → ≈22 N 로 점프 직선 하강 (10.25 → 20.25 m)

Capstan 꺼짐 $w\sin (-\pi /2)=-0.918$ N/m → 중력이 진행을 도움 T 가 0.918 N/m 씩 선형 감소 s=20.25 m 에서 T ≈ 22 − 9.18 ≈ 12.8 N (코드 출력 12.3 N) 그래프에서 "s=10 m 근처 급변"의 정체 로그 스케일 플롯에서 10 m 직전과 직후를 비교하면:

s=10.00 m 직전 : T ≈ 10.1 N (선형 증가 끝) s=10.25 m 직후 : T ≈ 22 N (2.19배 점프) 0.25 m 구간에서 T 가 10→22 N 로 급상승하는 것이 그래프에서 보이는 큰 변화입니다. 이는

"타이트한 곡률(ρ=0.08 m) × 총 회전각 π" 이 짧은 거리 안에 집중 → Capstan 효과가 폭발적으로 작용

했기 때문입니다.

물리적 해석 SG U-tube 의 U-bend 에서 케이블은 그 짧은 구간 동안 π rad (180°) 를 돌기 위해 튜브 바깥벽에 매우 강하게 눌립니다. 이 가압력이 마찰을 일으켜 장력이 지수적으로 2.19배로 커지는 것이며, 이 원리는 선박 계류(bollard) 나 벨트–풀리 capstan 에서 "로프를 기둥에 감아 힘을 증폭하는 것"과 똑같은 현상입니다.

흥미로운 점: U-bend 후 하강 구간에서 중력이 장력을 다시 낮춰주기 때문에 최종 조작력(12.3 N)이 U-bend 직후 값(22 N)보다 작게 나옵니다. 만약 하강 구간이 없고 수평관이었다면 조작력은 훨씬 더 컸을 것입니다.

프로브 기여도

프로브의 기여는 오직 초기 조건 T₀ 에 집중하중으로 들어갑니다:

Case 1: 직선 T0 = mu * W_probe # 프로브 마찰만

Case 2: SG U-tube T0 = mu * W_probe + W_probe # 프로브 마찰 + 수직 자중

Case 3: 헬릭스 T0 = mu * W_probe * cos(alpha) + W_probe * sin(alpha) # 프로브 마찰 + 경사 자중 즉 구조는:

$$T(s)=\underbrace{T_0}\text{probe (점 하중)}+\underbrace{{\int }_0^s[\frac{\mu }{\rho }T+\mu w\cos \theta +w\sin \theta ]d{s}^{\prime }}\text{cable ODE 적분 (분포 하중)}$$

$T_0$ : 프로브 98 mm 를 끌기 위한 최소 힘 (0.2 ~ 0.7 N) 적분 구간 전체 : 케이블 자중·마찰이 경로를 따라 누적 실제 숫자를 보면:

기여 값 $T_0$ (프로브) 0.41 N 케이블 적분 결과 6472 N 프로브 비중 0.006% 프로브를 보다 정밀하게 모델링하려면 (프로브 자체 길이 98 mm 구간에서의 capstan, 굽힘 강성 반력 등) ODE 의 처음 98 mm 구간에 프로브 물성(w, EI, μ)을 적용하고, 그 이후부터 케이블 물성으로 전환하는 2-section 모델이 필요합니다. 하지만 위 비중에서 보듯이 결과에 미치는 영향은 무시할 수준이라 현재 코드에서는 점 하중으로 단순화한 것입니다.

TODO

• [ ]

참고