Helical Tube - 2026-04-16

날짜: 2026-04-16
작성자: 최원재
프로젝트: Helical Tube

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목적

진행 내용

본 코드를 처음부터 자세히 설명해줘. 가정에 대한 설명을 빼지말고 설명해줘. operator_force.py 를 처음부터 끝까지, 각 가정을 빼지 않고 설명합니다.

1. 문제 설정의 배경 가정

이 코드의 목표: 헬리컬 튜브 안에 보빈 프로브를 집어넣고, 긴 플라스틱 케이블로 끌거나(PULL) 밀 때(PUSH) 작업자가 손에 가해야 하는 힘을 구하는 것.

전제 가정:

준정적(quasi-static) — 가속도 $a=0$. 프로브가 천천히 일정 속도로 움직인다. 케이블이 튜브 중심선을 따른다 — 굴곡을 따라 튜브 한쪽 벽에 밀착. 뱀처럼 꼬이거나 미끌리지 않음. 프로브는 짧고 강체 — 98 mm 이므로 전체 경로(49 m)에 비해 무시할 만큼 짧다. → 프로브의 기여는 "끝단 집중력" $F_{tip}$ 하나로 퉁침. 케이블은 균질 / 선형 탄성 — E 일정, 단면 원형. 마찰계수 μ 는 경로 전체에서 일정. capstan 식이 유효 — 케이블이 튜브 곡률 $\rho$ 에 맞춰 접촉.

2. 헬릭스 기하 (line 11–20)

R, pitch = 1.5, 3.0 # 헬릭스 반경, 1 turn 축방향 진행 n_turns = 5 # 통과할 turn 수 tube_ID = 12e-3 # 튜브 내경 alpha = atan(pitch/(2πR)) # 피치각 c = pitch/(2π) # 축방향 계수 rho = (R² + c²)/R # 헬릭스 곡률반경 L_turn = √((2πR)² + pitch²) # 1 turn 경로 길이 L = n_turns·L_turn # 총 경로 왜 이 식들인가

헬릭스 매개방정식 $\overrightarrow{r}(t)=(R\cos t,R\sin t,ct)$ 에서 곡률 $\kappa =R/(R^2+c^2)$. ρ = 1/κ 이므로 위 식. 경로는 한 turn 당 $\sqrt{(2\pi R{)}^2+p^2}$ (원주를 살짝 꼰 길이). α = 경로 접선과 수평면 사이 각 (오르막 각). 숫자값: ρ=1.652 m, α=17.66°, L=49.45 m.

3. 프로브 물성 (line 23–28)

probe_OD = 11e-3 probe_L = 98e-3 probe_rho = 8200 # Inconel m_probe = ρ·A·L = 76.4 g W_probe = m_probe·g = 0.749 N 가정

Inconel 밀도 8200 kg/m³ 고정값 사용. 중공 여부 무시 — 실체(solid)로 취급. 실제 bobbin 은 내부에 코일/기판이 있어 평균 밀도는 다를 수 있으나 여기선 단순화.

4. 케이블 물성 (line 31–39)

cable_OD = 9.5e-3 E_c = 3.6 GPa # PEEK rho_c = 1320 kg/m³ # PEEK sigma_y_c = 100 MPa # PEEK 항복 A_c, I_c : 원형 단면 공식 EI_c = E·I = 1.44 N·m² # 굽힘 강성 w_cable = ρ·A·g = 0.918 N/m (단위길이당 자중) mu = 0.25 # PEEK ↔ SUS, 건조 가정

케이블을 속이 꽉 찬 PEEK 원봉으로 모델링. 실제 ECT 케이블은 내부에 동축선/차폐가 있어 EI 와 밀도가 다르지만, "플라스틱 케이블"이라는 조건을 단순 반영. μ = 0.25 는 폴리머-스틸 건조마찰의 중간값. 습도·윤활이 들어가면 0.1 이하로 감소 가능.

5. 케이블 굽힘 응력 체크 (line 41–48)

sigma_cable = E·(d/2)/rho 원리: 케이블을 강제로 곡률 $1/\rho$ 로 굽히면 바깥 섬유에 발생하는 최대 인장응력은 $\sigma =E\cdot y_{max}/\rho$. $y_{max}=d/2$.

결과: 10.4 MPa ≪ 항복 100 MPa → 케이블은 이 곡률에 탄성 범위 내에서 굽힘 OK. (이게 FAIL 이면 케이블 자체가 부러진다는 뜻.)

6. 프로브가 끝단에 만드는 저항력 $F_{tip}$ (line 51)

F_tip = mu·W_probe·cos(alpha) + W_probe·sin(alpha) 의미

프로브는 길이 98 mm 라 매우 짧으므로 capstan 축적을 무시하고 하나의 집중 하중으로 본다. 두 성분: $\mu W\cos \alpha$ : 중력이 튜브벽을 누르는 수직성분 × 마찰계수 = 마찰력 $W\sin \alpha$ : 중력의 경로 방향 성분 (오르막 저항) 이 값 = 프로브를 끌고 가기 위해 케이블 선단에 걸리는 최소 힘 = 0.406 N. 가정 단순화

프로브 자체가 곡선에 강제로 눌리는 힘 (EI/ρ²) 은 무시 — 98 mm 가 $L_{rigid,max}$ = 115 mm 이내라 굽힘 없이 통과. 프로브 capstan (T/ρ) 도 무시 — 짧으므로.

7. 핵심 ODE : Capstan + 중력 (line 55–57)

주정상상태 축방향 힘 평형:

$$\frac{dT}{ds}=\underbrace{\frac{\mu }{\rho }T}B\cdot T+\underbrace{\mu w\cos \alpha +w\sin \alpha }A$$

B = mu/rho # 0.1513 /m A_ = mu·w·cos(alpha) + w·sin(alpha) # 0.497 N/m 선형 1차 ODE 의 해석해:

$$T(s)=(T_0+\frac{A}{B})e^{Bs}-\frac{A}{B}$$ 8. PULL — 선단에서 당김 (line 60–62)

T_pull = (F_tip + A/B)·exp(B·s) - A/B F_pull = T_pull[-1] 가정·방향

$s=0$ : 프로브 선단(튜브 안쪽 끝). 여기서 장력 = 프로브 저항 $F_{tip}$. $s=L$ : 튜브 반대편 출구, 조작자가 케이블을 당기는 지점. 장력은 tip → 조작자 방향으로 지수 증가 → $F_{pull}=T(L)$. 결과: 6562.8 N.

9. PUSH — 후단에서 밀어넣음 (line 65–67)

P_push = (F_tip + A/B)·exp(B·(L-s)) - A/B F_push = P_push[0] 가정

조작자가 $s=0$ 에서 케이블을 압축(push). 선단($s=L$)이 프로브를 만나며 저항 $F_{tip}$. 압축력은 조작자→선단 방향으로 지수 감쇠 → 조작자가 내야 하는 힘 = $P(0)$. 수식상 크기는 PULL 과 동일. 결과: 6562.8 N (같은 값).

10. PUSH 의 좌굴 한계 (line 70–76)

delta_cable = tube_ID - cable_OD # 2.5 mm (직경 간극) lam = (π^4·EI·delta·rho / P)^(1/4) # 좌굴 반파장 P_crit = π²·EI/lam² 원리

압축 상태의 세장체(cable)가 튜브 간극 δ 내에서 사인파 좌굴. 자기접촉 가정 하 파장을 근사한 식 (석유시추 Dawson-Paslay 계열의 간이형). P 가 $P_{crit}$ 을 초과하면 더 이상 압축력 전달 불가. 결과: $s=0$ 에서 이미 $P>P_{crit}$ → 즉시 좌굴 → PUSH 불가.

11. 케이블 인장 파단 (line 79)

F_break = sigma_y_c · A_c # 7088 N 가정: 항복응력 = 파단 근사. 실제는 UTS(극한인장강도)를 써야 하며 PEEK 의 경우 ~100 MPa 이라 대략 같다.

비교: $F_{pull}$ = 6563 N < 7088 N → 수식상 "OK" 지만 여유 8% 수준, 실제로는 안전계수 미달.

12. 출력 및 플롯 (line 82–끝)

로그 스케일로 T(s), P(s) 와 $P_{crit}(s)$, 파단 한계를 같이 그려 어느 제약이 먼저 걸리는지 눈으로 확인. 요약 — 이 코드가 단순화한 것 vs 실제 단순화 실제 준정적 가속/감속 구간 존재 프로브 = 점 저항 짧긴 해도 자체 capstan 있음 μ 일정 stick–slip 로 국부적으로 변동 케이블 = 솔리드 PEEK 원봉 복합재(동축선+재킷), 비선형 간극 δ 만 사용한 좌굴식 post-buckling 후 snaking 거동 무시 중력만 고려 제조공차·편심·곡선부 접촉점 수 변화 무시 이 단순화들이 PULL/PUSH 힘을 과대평가 하는 쪽(capstan 지수가 보수적)이므로, 실제 현장값은 이보다 작게 나올 수 있지만, 동시에 좌굴·stick-slip 은 과소평가 합니다. 정량 설계용이 아니라 경향성/스케일 파악용 모델로 이해하시는 게 좋습니다.

TODO

• [ ]

참고