Helical Tube - 2026-04-16

날짜: 2026-04-16
작성자: 최원재
프로젝트: Helical Tube

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목적

진행 내용

좌굴 파장 공식

$$\lambda ={\left(\frac{{\pi }^4,EI,\delta ,\rho }{P}\right)}^{1/4}$$

이 어디서 오는지 단계별로 설명합니다.

1. 출발점: 곡선 튜브 안의 압축된 봉이 받는 "횡방향 하중" 케이블이 곡률반경 $\rho$ 의 튜브 중심선을 따라 있고, 축방향 압축 $P$ 를 받고 있다고 하면, 곡선 경로를 따라가기 위해 반지름 방향으로 힘이 필요합니다.

Capstan 식과 동일한 원리로, 단위길이당 횡방향 분포하중:

$$q=\frac{P}{\rho }$$

방향은 곡률중심 반대쪽(바깥벽 쪽)으로 케이블을 밀어내는 힘입니다. 이것이 좌굴을 유발하는 "원동력"이 됩니다.

즉 문제가 "분포하중 $q=P/\rho$ 를 받는 빔이 간극 $\delta$ 안에서 파장 $\lambda$ 의 사인파로 변형" 하는 것으로 환원됩니다.

2. 사인파 변형의 가정 벽 접촉(self-contact) 을 하며 좌굴하는 케이블의 형상을 가정:

$$y(s)=\delta ,\sin !\left(\frac{\pi s}{\lambda }\right)$$

진폭 $=\delta$ : 튜브 벽에 닿는 한계 반파장 $=\lambda$ : 벽 접촉점 사이의 거리 (미지수) 3. 에너지 3가지 계산 (a) 굽힘 탄성 에너지 빔 이론: $U_{bend}=\frac{EI}{2}\int (y^{″}{)}^{2}ds$

사인파를 2번 미분하면 $y^{″}=-\delta (\pi /\lambda {)}^2\sin (\pi s/\lambda )$

한 파장에 걸쳐 적분하면:

$$U_{bend};\propto ;\frac{EI,{\delta }^2,{\pi }^4}{{\lambda }^3}$$

해석: $\lambda$ 가 짧을수록 굽힘 에너지는 급격히 커짐 ($1/{\lambda }^3$). 즉 자연은 "너무 잘게 휘는 것"을 싫어한다.

(b) 횡방향 하중이 하는 일 분포하중 $q=P/\rho$ 가 변위 $y$ 에 걸쳐 하는 일:

$$W_{lat}=\int q,y,ds;\propto ;\frac{P}{\rho },\delta ,\lambda$$

해석: $\lambda$ 가 길수록 케이블이 벽에 닿아있는 거리가 길어 일이 커짐 (∝ λ). 즉 자연은 "긴 파장"을 좋아한다 (횡하중을 많이 받아들이기 위해).

(c) 축방향 압축이 하는 일 (단축 효과) 사인파 변형 시 케이블은 원래 길이보다 짧아진 듯이 보임:

$$W_{axial};\propto ;\frac{P,{\delta }^2}{\lambda }$$

4. 에너지 최소화 → $\lambda$ 결정 총 포텐셜 에너지:

$$\mathrm{\Pi }(\lambda );\sim ;\underbrace{\frac{EI,{\delta }^2}{{\lambda }^3}}\text{bend}-\underbrace{\frac{P,\delta ,\lambda }{\rho }}\text{lateral}-\underset{\text{axial}}{\underbrace{\frac{P,{\delta }^2}{\lambda }}}$$

"bend" 와 "lateral" 의 경쟁이 지배적 ($\lambda$ 에 대한 상반된 의존성). $d\mathrm{\Pi }/d\lambda =0$ 을 풀면:

$$\frac{EI,{\delta }^2}{{\lambda }^4};\sim ;\frac{P,\delta }{\rho }$$

정리하면:

$$\boxed{{\displaystyle ;{\lambda }^4;\sim ;\frac{EI,\delta ,\rho }{P};}}$$

계수 ${\pi }^4$ 는 정확한 사인파 형상을 대입해 얻어지는 기하 인자입니다.

5. 각 의존성의 물리적 해석 인자 증가 시 $\lambda$ 변화 이유 EI ↑ $\lambda \propto E{I}^{1/4}$ 증가 뻣뻣할수록 짧게 못 휘고, 긴 웨이브로 휨 δ ↑ $\lambda \propto {\delta }^{1/4}$ 증가 간극이 커 진폭이 커져도 되면 파장도 길어져 굽힘 부담을 줄임 ρ ↑ $\lambda \propto {\rho }^{1/4}$ 증가 완만한 곡률 → 횡하중 q=P/ρ 가 약함 → 굳이 잘게 휠 필요 없음 P ↑ $\lambda \propto P^{-1/4}$ 감소 압축이 강하면 횡하중 q 도 커져서 더 잘게 휨 네 인자가 모두 1/4 승으로 들어가는 것은 "굽힘 강성 × 변형 공간 × 곡률 완화" 와 "압축력" 이 $\lambda$ 에 4차로 관여하는 에너지 구조에서 자연스럽게 나오는 결과입니다.

6. 왜 고전 Euler 식 $P_{cr}={\pi }^{2}EI/L^2$ 과 다른가 상황 지지 조건 파장 자유공간 Euler 양 끝만 지지, 중간은 자유 $L$ = 전체 길이 튜브 안 (본 문제) 간극 $\delta$ 가 지지 역할 (self-contact) $\lambda$ = 에너지 최적화로 자동 결정 즉 튜브가 "분산된 측면 지지" 를 제공하므로, 좌굴 파장이 전체 길이와 무관하게 재료·간극·곡률·압축력의 국소 조합으로 결정됩니다. 튜브가 길어져도 $\lambda$ 는 변하지 않고, 같은 파장의 웨이브가 여러 개 생기는 구조.

7. 곡선 튜브가 핵심 — 직선 튜브였다면? ρ → ∞ 이면 횡하중 $q=P/\rho \to 0$ 이 되어 좌굴 기구 자체가 사라집니다. 이 경우 케이블 자중 $w$ (gravity) 이 횡하중 역할을 맡습니다. 문헌(Dawson-Paslay)에서는 $w$ 가 $P/\rho$ 를 대신해 같은 형태:

$$\lambda ={\left(\frac{{\pi }^{4}EI,\delta }{w}\right)}^{1/4}$$

즉 곡선 튜브의 $P/\rho$ 는 직선 튜브의 자중 $w$ 와 "동일한 역할"을 하는 횡방향 하중입니다. 곡률이 있으면 자중보다 훨씬 큰 횡하중(P/ρ)이 작용하므로 좌굴이 훨씬 빨리 시작되는 것이고, 이것이 본 헬리컬 튜브에서 PUSH 가 즉시 실패하는 이유입니다.

8. 본 코드 한 줄에 대응

lam = (np.pi**4 * EI_c * delta_cable * rho / P) ** 0.25 ${\pi }^4$ : 사인파 기하 인자 $E{I}_c$ : 굽힘 강성 (늘이면 좌굴 지연) $\delta$ : 간극 (클수록 좌굴 지연) $\rho$ : 곡률반경 (클수록 횡하중 감소 → 좌굴 지연) $P$ : 현재 압축력 (클수록 좌굴 가속) 이어서

P_crit = np.pi2 * EI_c / lam2 로 Euler 식을 지금 계산된 $\lambda$ 로 다시 적용해 국소 임계하중을 얻습니다. $P>P_{crit}$ 인 위치에서 좌굴이 발생.

TODO

• [ ]

참고